Φ (Fi)

Fi (Φ, φ) es la vigésima primera letra del alfabeto griego. Los romanos, al transliterar esta letra a caracteres latinos, lo hicieron con el dígrafo ph, con lo que representaron el sonido de p aspirada ([pʰ]) que tenía en griego antiguo: por ejemplo, en Phidias, philosophia o Pharao (en castellano: Fidias,filosofía, faraón). En griego moderno se pronuncia [f]. En el sistema de numeración griega tiene un valor de 500.

Tanto en mayúscula como en minúscula,  se usa para simbolizar, entre otras cosas, el número áureo o proporción dorada, que posee muchas propiedades matemáticas interesantes y que se encuentra detrás de muchas de las proporciones geométricas presentes en la naturaleza y el arte.Se utiliza fi para representarlo  en honor al escultor griego Fidias, ya que  lo aplicó en la composición de sus esculturas.

 

El número áureo es  un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión aritmética sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta; o sea, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.

Entre sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cuadrado (Φ2 = 2,61803398874989…) y su inverso (1/Φ = 0,61803398874989…) tienen las mismas infinitas cifras decimales.

Se define como el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:

La longitud total es al segmento a, como a es al segmento b.

Escrito como ecuación algebraica: \frac{a+b}{a}=\frac ab

Siendo el valor del número áureo φ el cociente \frac ab

Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.

Para calcular su valor debe cumplirse:

\frac{a+b}{a}=\frac ab

Si \varphi es igual a \frac ab entonces la ecuación queda:

 1 +  \varphi^{-1} = \varphi

Multiplicando ambos miembros por \varphi, obtenemos:

 \varphi + 1 = \varphi^2

Igualamos a cero:

 \varphi^2 - \varphi - 1 = 0

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:

 \frac{1+\sqrt{5}}{2}=1\textrm{.}61803398874989\ldots

que es el valor del número áureo, equivalente a la relación \frac ab.

Resulta que este valor es el límite del cociente entre un término y el inmediatamente anterior de las sucesiones recurrentes de nivel 2, entre ellas, la sucesión de Fibonacci, de la que hablamos sucintamente en otra entrada anterior.

\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}=\varphi

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci ( hijo de Bonacci), fue un matemático italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración indo-arábigo actualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci.

La sucesión fue descrita por Fibonacci, en el margen de su Liber abaci,  como la solución a un problema de la cría de conejos: «Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a reproducir»

Esto sería en unas condiciones dadas, a saber:

  1. Los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes.
  2. En cuanto alcanzan la madurez sexual los conejos se aparean y siempre resulta preñada la hembra.
  3. El periodo de gestación de los conejos es de un mes.
  4. Los conejos no mueren.
  5. La hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos opuestos.

Sin embargo, tanto en la naturaleza como en la cunicultura, estas condiciones raramente se dan (lo sé por experiencia propia,pues me he dedicado a criarlos durante varios años): el conejo alcanza la madurez sexual entre los 4 y 7 meses, considerandose adulto  hacia los 8 meses de edad; son fértiles durante todo el año pero la mayor cantidad de nacimientos se dan durante la primera mitad del año ( período de máxima abundancia de alimento); el periodo de  gestación  dura de 28 a 33 días y las camadas oscilan normalmente entre 4-12 individuos, con o sin alternancia de sexos; son posibles de 5 a 7 partos al año,  siendo lo habitual 2 ó 4 camadas al año,aunque los abortos son comunes, incluso es frecuente la muerte de alguno o todos los gazapos  .Aunque pueden llegar a vivir 10 años, el 90% de los ejemplares no supera el primer año de vida.

 

Aún así, la sucesión de Fibonacci se encuentra presente en la naturaleza, como por ejemplo en las ramas de los árboles, el número de pétalos de las flores (generalmente hay flores con 2, 3, 5, 8, 13, 21 pétalos,  pero muy rara vez es un número que no esté en esta sucesión), la disposición en espiral de muchas semillas y frutos(en las piñas coinciden con dos términos de la sucesión de los números de Fibonacci, 8 y 13; ó 5 y 8;los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144; las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales).

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada elemento es la suma de los dos anteriores, de manera que la suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato siguiente (0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…). Teniendo esto en cuenta, al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo.Trazando un semicírculo que una los vértices de los rectángulos, se obtiene una espiral logarítmica cuyo desarrollo coincide con la serie de Fibonacci.

Generalmente se ha puesto como ejemplo de esta espiral la concha de los moluscos, y especialmente la de Nautilus, y aunque puede ser así en la mayoría de las especies de moluscos,  la espiral generada por la sucesión de Fibonacci no coincide exactamente con la estructura de la concha de este fósil viviente.

[Nautilus con espiral Fibonacci]

Sin embargo si podemos encontrar esta sucesión en el árbol genealógico de los machos de una colmena de abejas: el hecho es que un zángano (1), el macho de la abeja, no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

Drone 24a.jpg

 

La proporción aurea, osea la proporción entre dos términos de la serie de Fibonacci, o número aureo, representado por  φ (fi), también se encuentra en el cuerpo humano: en la relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo,entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos, entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla,  entre las divisiones vertebrales, entre las articulaciones de las manos y los pies, en la longitud de los huesos de los dedos de las manos, etc.

 

Esta proporción, pues, se ha usado como canon en la representación artística: desde la escultura (hemos mencionado a Fidias anteriormente) hasta la fotografía o el cine, pero sobre todo ha sido usada en la pintura y practicamente por todos los movimientos pictóricos, (podemos citar como ejemplos, desde “El hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci, hasta “Composición en rojo, amarillo, azul y negro” de  Piet Mondrian, ejemplos de arte figurativo y arte abstracto, respectivamente)

 

Pero la relación más evidente entre las ciencias ( en este caso las matemáticas) y las artes (en este caso la pintura) la podemos encontrar en la obra del pintor holandés M. C. Escher.Las obras más conocidas de Escher son probablemente las figuras imposibles, seguidas de los ciclos, metamorfosis y, directa o indirectamente, sus diversos trabajos sobre la estructura de la superficie y la partición regular del plano (patrones que rellenan el plano o teselado).

Muchos de estos trabajos tienen fuertes influencias de los motivos ornamentales que pudo observar en sus visitas a la Alhambra.El arte hispano-musulmán , desarrollado por los árabes en la península Ibérica, presenta un gran desarrollo del concepto de simetría, debido a su carácter abstracto.Esta característica le viene impuesta por la prohibición de plasmar figuras humanas o animales,que reza en el ‘hadiz’ o tradición islámica.Es así como en el arte musulmán prima la representación geométrica, según la geometría euclidiana.

Precisamente fue Euclides el primero en definir la proporción áurea, aunque no fue el primero en utilizarla.A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se ocupó de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto.

No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave de la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.

La escuela pitagórica, fundada por Pitágoras  en Crotona, al sur de Italia,  tuvo numerosos seguidores. Las contribuciones de los pitagóricos y su enorme influencia fueron determinantes para el desarrollo las matemáticas, la astronomía y la medicina, entre otras ciencias naturales. La escuela practicaba el secretismo( sus enseñanzas se suelen considerar de carácter esotérico) y la vida comunal de manera muy estricta.Tenían, al parecer, símbolos convencionales establecidos, que les permitían identificarse como miembros de la hermandad aún sin haberse visto anteriormente.El más famoso y que ha trascendido hasta la actualidad es el  pentagrama o pentalfa ( conocido también como estrella pitagórica).

El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento se interseca con otro segmento en una razón áurea.

El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen como los triángulos áureos.Esta característica de los triángulos áureos puede haber sido utilizada por los egipcios en la construcción de la Gran Pirámide de Gizeh.

 

La sucesión de triángulos áureos nos permite ver cómo los vértices sucesivos están situados sobre una espiral logarítmica con giros de 108º .

Y si hablamos de ángulos (que en física y matemáticas se representan también por φ) , la relación angular de proporción entre dos segmentos circulares es conocida como ángulo áureo, que es el ángulo que se obtiene al dividir una circunferencia en proporción áurea y resulta ser de unos 137,5º.

Este ángulo es utilizado en  la disposición que presentan las hojas en el tallo de las plantas, conocida como filotaxis.Si una planta crece en espiral, el ángulo que maximiza la cantidad de luz solar que reciben las hojas alrededor del tallo sería aquel en el cual las hojas alternas no se solaparan, dándose sombra.Así que a la planta le interesa que los brotes nuevos surjan con ángulos irracionales.Si un ángulo es irracional, por muchas vueltas que dé alrededor de la circunferencia, nunca regresará a la posición inicial,  característica que cumple el ángulo áureo.

Pero la geometría euclidiana no es la única en la que se cumplen estos postulados sobre el número áureo.La geometría fractal se utiliza para explicar muchos objetos comunes que no pueden ser descritos por la geometría euclidiana tradicional.Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.El ejemplo más conocido es el del romanescu.

 

También se han usado los fractales en el arte.El arte psicodélico,  inspirado por la experiencia inducida por drogas alucinógenas como el LSD, el peyote u otras, tiene entre sus características usuales, el uso de patrones caleidoscópicos, fractales o inspirados en los diseños persas conocidos en inglés como paisley pattern.

El arte psicodélico no se ha dado solamente en las artes visuales, si no también en la literatura y en la música.Este último arte, también tiene mucho que ver con el número áureo.Si nos fijamos en el teclado de un piano, reconoceremos sus proporciones áureas: hay 8 teclas blancas, 5 teclas negras y ellas aparecen en grupos de 2 y de 3. Todos estos números forman parte de la serie de Fibonacci.

Muchos son los compositores que se han visto intrigados por esta proporción.Entre ellos podemos destacar a Johann Sebastian Bach.Casi todas las obras de Bach siguen la sucesión de Fibonacci, que, como ya hemos visto, es una sucesión recurrete.

Johann Sebastian Bach.jpg

Como tal sucesión, los números de Fibonacci quedan definidos por la siguiente ecuación:

f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\,

Esta manera de definir, con una definición recursiva, de hecho considerada algorítmica, es usual en Matemática discreta.Y uno de los campos de esta matemática es la  lógica matemática,  que consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.

El origen de los modelos abstractos de computación se encuadra  en los años ’30 (antes de que existieran los ordenadores modernos), en el trabajo de los lógicos Alonzo Church, Kurt Gödel, Stephen Kleene, Emil Leon Post, Haskell Curry y Alan Turing.

Por ejemplo, en  el Teorema de incompletitud de Gödel  se afirma que cualquier teoría aritmética recursiva que sea consistente es incompleta.La demostración de este teorema pasa por construir una cierta fórmula, la «sentencia de Gödel» G, que no puede ser probada ni refutada en T: ni G ni ¬G (la negación de G) son teoremas de T. Se dice entonces que G y ¬G son indecidibles o independientes en T.Para llegar a esta, Gödel desarrolló un método para codificar signos y fórmulas mediante números, llamado numeración de Gödel.

1925 kurt gödel.png

Kurt Gödel fue  un lógico, matemático y filósofo austriaco-estadounidense.Reconocido como uno de los más importantes lógicos de todos los tiempos, el trabajo de Gödel ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática.

Como curiosidad, la relación entre Escher, Bach y Gödel, y de cómo sus logros creativos interactúan, se describe en el libro de  Douglas Hofstadter  publicado en 1979 Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle.

Podríamos seguir hablando sobre muchas más implicaciones que tiene el número áureo, pero, para no hacer más larga la entrada, de momento, lo dejaremos aquí.Probablemente, en otra próxima ocasión, trataremos más sobre este tema.

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

Anuncios

One response to “Φ (Fi)

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: